TEOREMA DE INCOMPLETITUD DE KURT GÖDEL

Introducción

Este Teorema, a pesar de ser uno de los más importantes del siglo XX, llegando incluso a ser comparado con el Teorema de la Relatividad de Einstein y el Principio de Incertidumbre de Heisenberg, es conocido por muy pocas personas.En 1931 Gödel dio a conocer sus famosos resultados sobre la incompletitud y la imposibilidad de autoprueba de consistencia de los sistemas formales que incluyan cierta porción de aritmética. La comunicación apareció bajo el título Über Vollständigkeit und Widerspruchsfreiheit ( sobre completud y consistencia ) en Ergebnisse eines mathematischen Kolloquiums, nº 3 (Ver Obras Completas, Kurt Gödel, pág. 91-93). Con él demostró la imposibilidad de llevar a cabo el programa de Hilbert y echó por tierra la esperanza de los pensadores del momento de demostrar la consistencia de un sistema formal de modo satisfactorio.

Definiciones

Veamos el significado de algunos conceptos necesarios para la comprensión del teorema:Un sistema formal Z es completo si y sólo si para cada sentencia s de su lenguaje formal ocurre que s es deducible en Z o que no-s es deducible en Z. Así pues, un sistema formal completo no deja pregunta sin respuesta.Un sistema formal Z es incompleto si y sólo si hay alguna sentencia s, tal que ni s es deducible en Z, ni tampoco lo es no-s.

Teorema

“ Todos los sistemas formales que incluyan cierta porción de aritmética son incompletos, y además, esa incompletitud no tiene remedio: por muchos axiomas que añadamos, siguen siendo incompletos. “

Para entender mejor este teorema, dividámoslo en 2 partes: La 1ºparte trata de la incompletitud ciertos sistemas formales y la 2º parte trata de la incompletitud esencial, o sea, la imposibilidad de dejar de ser incompleta.

1ºparte

Imaginemos una maquina capaz de contestar a todas las preguntas posibles.Llamémosla “Maquina Universal de la Verdad” (MUV).

Podemos fácilmente imaginar que el programa que implementa esta maquina será largo y complicado, pero finito.Llamemos a ese programa P.

Resulta obvio el símil existente en MUV y un sistema formal que incluye cierta porción de aritmética.

Ahora enunciemos la sentencia S: “La maquina construida basándose en el programa P nunca dirá que esta sentencia es verdadera”.

La sentencia S es equivalente a “MUV nunca dirá que S es verdadera”.

Ahora viene lo bueno: Le preguntamos a MUV si S es verdadera o falsa.Si MUV dice que S es verdadera, entonces S es falsa, ya que estará diciendo que es verdad la sentencia S que dice que la sentencia S nunca será dada por verdadera por MUV.

Si al contrario, MUV dice que S es falsa, estará diciendo que MUV si dará por válida la sentencia S, lo que a su vez nos llevará de nuevo a que S es falsa, y luego a S es verdad, S es falsa,...

Por tanto cuando MUV dice que S es verdad, en verdad es falsa, y MUV habrá emitido un falso juicio. Así que MUV nunca dirá que S es verdad ya que solo emite juicios verdaderos.

Hemos establecido que MUV nunca dirá que S es verdad. Por tanto “MUV nunca dirá que S es verdad” es verdad.Así que nosotros sabemos algo que la Maquina Universal de la Verdad no sabe, por tanto no puede ser verdaderamente una Maquina Universal: No es completa.

2ºparte

Alguien podría sospechar que Gödel no ha hecho sino aprovecharse sagazmente de un defecto escondido de un sistema formal especifico Z. Si así fuera, quizá se pudiese desarrollar un sistema formal superior a Z, el cual evadiría el ardid gödeliano, y el teorema de Gödel se vería en entredicho.

Imaginemos ahora un fonógrafo X que va a representar a ese sistema formal Z.Obviamente el fonógrafo en cuestión tocara discos (los discos son sentencias de lenguaje formal de Z). Según los conceptos dados anteriormente, un disco escuchable será una sentencia deducible en Z. Un disco no escuchable será una sentencia que no se puede demostrar en Z.

La 1º parte del teorema de Gödel expone que habrá un disco llamado “no puedo ser escuchado por el fonógrafo X”. Cuando el fonógrafo intenta tocarlo, apenas emite las primeras notas, vibra intensamente y se rompe en mil pedazos. El fonógrafo X no es perfecto (completo), hay un disco que no es capaz de tocar.

Ahora bien, construimos un fonógrafo X’ capaz de tocar el disco “no puede ser escuchado por el fonógrafo X”. ¿Todo resuelto? ¡Mas bien no! ¿Qué pasaría si intentáramos que el fonógrafo mejorado X’ tocase el disco “no puedo ser escuchado por el fonógrafo X’ ”? Se rompería a su vez.

Cualquier fonógrafo que construyamos, por perfecto que pensamos que pueda ser, a pesar de ser capaz de escuchar todos los discos que destruían los fonógrafos anteriores, siempre tendrá un disco, construido basándose en la construcción del fonógrafo, que lo destruirá.¿Y qué pasaría si fuésemos capaces de construir un fonógrafo capaz de reconocer un disco que lo vaya a destruir y por tanto no lo tocase? Por el simple hecho de no tocarlo no sería perfecto. En otras palabras, sería un sistema formal incompleto debido a su debilidad.

Con esta explicación, espero haber dejado claro el concepto de la incompletitud esencial.

Algunas reflexiones sobre el teorema de Gödel

Algunas personas han usado el teorema de Gödel para afirmar que las computadoras nunca serán tan listas como los humanos porque su propio conocimiento está sujeto a un número fijo de axiomas, al contrario de la mente humana, que siempre podrá descubrir verdades insospechadas. El propio Gödel afirmó que sus teoremas demostraban la superioridad de la mente humana sobre la computadora. Más adelante, y con un talante más moderado, dijo que si la máquina puede igualar a la mente era un hecho indemostrable.

También se ha usado para afirmar que, uno mismo, nunca llegará a entenderse a sí mismo, ya que la mente, al igual que cualquier otro sistema cerrado, solo puede estar seguro de lo que sabe acerca de sí mismo basándose en lo que ya sabe sobre sí mismo. Al igual que no podemos vernos la cara con nuestros propios ojos, no podemos visualizar nuestra mente con nuestra propia mente. Esa misma incapacidad de entender nuestra mente no nos permitirá nunca fabricar una computadora capaz de pensar como nosotros.

El teorema de Gödel da para mucho más: su aparición cambió para siempre la lógica y la filosofía de la matemática. Da para tanto, que prefiero finalizar esta pequeña introducción en este punto, no sin antes invitar a aquellas personas que puedan estar interesadas en ampliar sus conocimientos sobre el tema que ojeen el maravilloso libro de Hofstadter (incluido en la bibliografía)